Таблица корней
Быстрый ответ: √2 = 1,4142, √3 = 1,7321, √5 = 2,2361, √10 = 3,1623 (с точностью до четырёх знаков); 2√3 = 3,4641, 3√2 = 4,2426. Квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a: √49 = 7, потому что 7² = 49. Ниже — таблица квадратных корней от 1 до 100, кубических от 1 до 50, корни из 2, 3 и 5 с двадцатью знаками, таблица упрощения корней, извлечение столбиком и калькулятор.
Таблица квадратных корней от 1 до 100
Значения округлены до четырёх знаков после запятой — как в таблицах Брадиса. Точные корни (из 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) выделяются нулями после запятой.
| √1 = 1,0000 | √21 = 4,5826 | √41 = 6,4031 | √61 = 7,8102 | √81 = 9,0000 |
| √2 = 1,4142 | √22 = 4,6904 | √42 = 6,4807 | √62 = 7,8740 | √82 = 9,0554 |
| √3 = 1,7321 | √23 = 4,7958 | √43 = 6,5574 | √63 = 7,9373 | √83 = 9,1104 |
| √4 = 2,0000 | √24 = 4,8990 | √44 = 6,6332 | √64 = 8,0000 | √84 = 9,1652 |
| √5 = 2,2361 | √25 = 5,0000 | √45 = 6,7082 | √65 = 8,0623 | √85 = 9,2195 |
| √6 = 2,4495 | √26 = 5,0990 | √46 = 6,7823 | √66 = 8,1240 | √86 = 9,2736 |
| √7 = 2,6458 | √27 = 5,1962 | √47 = 6,8557 | √67 = 8,1854 | √87 = 9,3274 |
| √8 = 2,8284 | √28 = 5,2915 | √48 = 6,9282 | √68 = 8,2462 | √88 = 9,3808 |
| √9 = 3,0000 | √29 = 5,3852 | √49 = 7,0000 | √69 = 8,3066 | √89 = 9,4340 |
| √10 = 3,1623 | √30 = 5,4772 | √50 = 7,0711 | √70 = 8,3666 | √90 = 9,4868 |
| √11 = 3,3166 | √31 = 5,5678 | √51 = 7,1414 | √71 = 8,4261 | √91 = 9,5394 |
| √12 = 3,4641 | √32 = 5,6569 | √52 = 7,2111 | √72 = 8,4853 | √92 = 9,5917 |
| √13 = 3,6056 | √33 = 5,7446 | √53 = 7,2801 | √73 = 8,5440 | √93 = 9,6437 |
| √14 = 3,7417 | √34 = 5,8310 | √54 = 7,3485 | √74 = 8,6023 | √94 = 9,6954 |
| √15 = 3,8730 | √35 = 5,9161 | √55 = 7,4162 | √75 = 8,6603 | √95 = 9,7468 |
| √16 = 4,0000 | √36 = 6,0000 | √56 = 7,4833 | √76 = 8,7178 | √96 = 9,7980 |
| √17 = 4,1231 | √37 = 6,0828 | √57 = 7,5498 | √77 = 8,7750 | √97 = 9,8489 |
| √18 = 4,2426 | √38 = 6,1644 | √58 = 7,6158 | √78 = 8,8318 | √98 = 9,8995 |
| √19 = 4,3589 | √39 = 6,2450 | √59 = 7,6811 | √79 = 8,8882 | √99 = 9,9499 |
| √20 = 4,4721 | √40 = 6,3246 | √60 = 7,7460 | √80 = 8,9443 | √100 = 10,0000 |
Калькулятор корня
Корень из 2, 3 и 5 — с двадцатью знаками
| Корень | Значение | Где встречается |
|---|---|---|
| √2 | 1,41421356237309504880… | диагональ квадрата со стороной 1; отношение сторон листа А4 (297 : 210 ≈ 1,414); sin 45° = √2/2 |
| √3 | 1,73205080756887729352… | диагональ куба с ребром 1; высота правильного треугольника со стороной 2; sin 60° = √3/2, tg 60° = √3 |
| √5 | 2,23606797749978969640… | диагональ прямоугольника 1 × 2; золотое сечение φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 |
Все три — иррациональные числа: их нельзя записать дробью, а десятичная запись никогда не кончается и не повторяется. Иррациональность √2 доказали ещё пифагорейцы в V веке до н. э. — по преданию, открытие так потрясло школу, что его держали в тайне. Для практики достаточно четырёх знаков, для инженерных расчётов — семи–восьми.
Кратные корни: 2√3, 3√2, a√5 и школьная тригонометрия
В ответах к задачам корень обычно оставляют как есть — «2√3», а не 3,4641: такая запись точная. Таблица помогает быстро оценить величину ответа.
| a | a√2 | a√3 | a√5 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1,4142 | 1,7321 | 2,2361 |
| 2 | 2,8284 | 3,4641 | 4,4721 |
| 3 | 4,2426 | 5,1962 | 6,7082 |
| 4 | 5,6569 | 6,9282 | 8,9443 |
| 5 | 7,0711 | 8,6603 | 11,1803 |
| 6 | 8,4853 | 10,3923 | 13,4164 |
| 7 | 9,8995 | 12,1244 | 15,6525 |
| 8 | 11,3137 | 13,8564 | 17,8885 |
| 9 | 12,7279 | 15,5885 | 20,1246 |
| 10 | 14,1421 | 17,3205 | 22,3607 |
Эти же корни стоят в таблице значений синусов и косинусов «красивых» углов:
| Функция | Точное значение | Приближённо |
|---|---|---|
| sin 30° = cos 60° | 1/2 | 0,5 |
| sin 45° = cos 45° | √2/2 | 0,7071 |
| sin 60° = cos 30° | √3/2 | 0,8660 |
| tg 30° = ctg 60° | √3/3 = 1/√3 | 0,5774 |
| tg 60° = ctg 30° | √3 | 1,7321 |
Как упростить корень: вынесение множителя из-под знака корня
Если под корнем есть множитель — точный квадрат, его выносят: √(a²b) = a√b. Все корни из чисел до 100, которые упрощаются:
| √8 = 2√2 | √12 = 2√3 | √18 = 3√2 | √20 = 2√5 | √24 = 2√6 |
| √27 = 3√3 | √28 = 2√7 | √32 = 4√2 | √40 = 2√10 | √44 = 2√11 |
| √45 = 3√5 | √48 = 4√3 | √50 = 5√2 | √52 = 2√13 | √54 = 3√6 |
| √56 = 2√14 | √60 = 2√15 | √63 = 3√7 | √68 = 2√17 | √72 = 6√2 |
| √75 = 5√3 | √76 = 2√19 | √80 = 4√5 | √84 = 2√21 | √88 = 2√22 |
| √90 = 3√10 | √92 = 2√23 | √96 = 4√6 | √98 = 7√2 | √99 = 3√11 |
Обратная операция — внесение под корень: 2√3 = √(4 × 3) = √12. Так сравнивают корни: что больше, 3√5 или 5√2? Внесём: √45 и √50 — второе больше.
Таблица кубических корней от 1 до 50
Кубический корень ∛a — число, куб которого равен a: ∛27 = 3, ∛125 = 5. В отличие от квадратного, кубический корень из отрицательного числа существует: ∛(−8) = −2.
| ∛1 = 1,0000 | ∛11 = 2,2240 | ∛21 = 2,7589 | ∛31 = 3,1414 | ∛41 = 3,4482 |
| ∛2 = 1,2599 | ∛12 = 2,2894 | ∛22 = 2,8020 | ∛32 = 3,1748 | ∛42 = 3,4760 |
| ∛3 = 1,4422 | ∛13 = 2,3513 | ∛23 = 2,8439 | ∛33 = 3,2075 | ∛43 = 3,5034 |
| ∛4 = 1,5874 | ∛14 = 2,4101 | ∛24 = 2,8845 | ∛34 = 3,2396 | ∛44 = 3,5303 |
| ∛5 = 1,7100 | ∛15 = 2,4662 | ∛25 = 2,9240 | ∛35 = 3,2711 | ∛45 = 3,5569 |
| ∛6 = 1,8171 | ∛16 = 2,5198 | ∛26 = 2,9625 | ∛36 = 3,3019 | ∛46 = 3,5830 |
| ∛7 = 1,9129 | ∛17 = 2,5713 | ∛27 = 3,0000 | ∛37 = 3,3322 | ∛47 = 3,6088 |
| ∛8 = 2,0000 | ∛18 = 2,6207 | ∛28 = 3,0366 | ∛38 = 3,3620 | ∛48 = 3,6342 |
| ∛9 = 2,0801 | ∛19 = 2,6684 | ∛29 = 3,0723 | ∛39 = 3,3912 | ∛49 = 3,6593 |
| ∛10 = 2,1544 | ∛20 = 2,7144 | ∛30 = 3,1072 | ∛40 = 3,4200 | ∛50 = 3,6840 |
Как извлечь квадратный корень столбиком
Способ из дореформенных учебников арифметики работает и без калькулятора. Пример — √1369:
1. Разбить число на грани по две цифры от запятой влево: 13|69.
2. Из первой грани извлечь наибольший целый корень: 3² = 9 ≤ 13, первая цифра ответа — 3.
Остаток 13 − 9 = 4.
3. Снести следующую грань: 469. Удвоить найденную часть ответа: 3 × 2 = 6.
4. Подобрать цифру x, чтобы (6x) · x ≤ 469: 67 × 7 = 469 — ровно. Вторая цифра — 7.
5. Остатка нет: √1369 = 37. Если остаток есть, приписывают грань «00» и продолжают — так
получают десятичные знаки.
Для √2 по этой схеме: 2 → 1, остаток 1; 100 → 2 × 1 = 2, (2x)·x ≤ 100 при x = 4 (24 × 4 = 96), остаток 4; 400 → 28x·x ≤ 400 при x = 1 (281), остаток 119; 11900 → 282x·x при x = 4 (2824 × 4 = 11296)… Получается 1,414 — и так сколько угодно знаков.
Частые вопросы
Чему равен корень из 2?
√2 = 1,41421356237309504880… — иррациональное число, его десятичная запись бесконечна и не повторяется. Для счёта берут 1,41 или 1,414; с четырьмя знаками — 1,4142. Проверка: 1,4142² = 1,99996164, чуть меньше 2.
Сколько будет 2 корень из 3?
2√3 = 2 × 1,7321 = 3,4641 (это же √12). Такое число даёт, например, диагональ куба с ребром 2 или сторона правильного треугольника с высотой 3. В ответах к школьным задачам его оставляют в виде 2√3 — это точнее любой десятичной дроби.
Как упростить корень, например √50?
Нужно вынести из-под корня самый большой точный квадрат: 50 = 25 × 2, значит √50 = √25 × √2 = 5√2 ≈ 7,0711. Так же √72 = √(36 × 2) = 6√2, √48 = 4√3. Если у числа нет квадратного делителя, кроме 1 (√7, √10, √15), упростить нельзя.
См. также
• Таблица квадратов — квадраты чисел от 1 до 100 и до 1000, формулы (a ± b)²
• Таблица кубов — кубы чисел от 1 до 100, формулы суммы и разности кубов
• Таблица степеней — степени двойки до 2⁶⁴, степени 3, 5, 10 и чисел от 2 до 10
• Число π — 1000 знаков после запятой, история вычислений, как запомнить
• Таблица простых чисел — все простые до 1000, проверка числа на простоту
• Таблица умножения — от 1 до 10 и до 20, таблица деления, тренажёр
• Сумма прописью — число → рубли и копейки словами, правила для документов
• Таблицы Брадиса — синусы, косинусы, тангенсы с точностью 4 знака и калькулятор
• Тригонометрические функции — формулы приведения, значения для 30°, 45°, 60°
Источники
- Брадис В. М. «Четырёхзначные математические таблицы» — таблицы квадратных и кубических корней.
- Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике» — извлечение корня, тождества с радикалами.
- Статья «Квадратный корень из 2» в Википедии — история, иррациональность, формат А4.
- Значения на странице вычислены целочисленно (isqrt) при сборке, округление — по последнему знаку.
Страница обновлена: 21 октября 2026