Таблица квадратов
Быстрый ответ: квадрат числа — это произведение числа на само себя: 7² = 7 × 7 = 49, 12² = 144, 25² = 625, 99² = 9801, 100² = 10 000. В таблице квадратов натуральных чисел от 1 до 99 (как на форзаце учебника алгебры) десятки числа ищут в левом столбце, единицы — в верхней строке: квадрат стоит на пересечении. Ниже — таблица до 100, квадраты круглых чисел до 1000, приёмы устного счёта и формулы сокращённого умножения.
Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 100
Как читать: 23² — строка «2», столбец «3», на пересечении 529. Квадраты чисел от 1 до 9 стоят в первой строке (строка «0»).
| десятки \ единицы | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
| 10 | 10 000 |
Квадраты чисел от 100 до 1000 (через десятки)
Квадрат круглого числа — квадрат его «ядра» с приписанными нулями: 300² = 9 и четыре нуля = 90 000; 1000² = 1 000 000 (миллион). Для чисел между табличными значениями считают по формуле (a ± b)² — пример ниже.
| 100² = 10 000 | 110² = 12 100 | 120² = 14 400 | 130² = 16 900 | 140² = 19 600 |
| 150² = 22 500 | 160² = 25 600 | 170² = 28 900 | 180² = 32 400 | 190² = 36 100 |
| 200² = 40 000 | 210² = 44 100 | 220² = 48 400 | 230² = 52 900 | 240² = 57 600 |
| 250² = 62 500 | 260² = 67 600 | 270² = 72 900 | 280² = 78 400 | 290² = 84 100 |
| 300² = 90 000 | 310² = 96 100 | 320² = 102 400 | 330² = 108 900 | 340² = 115 600 |
| 350² = 122 500 | 360² = 129 600 | 370² = 136 900 | 380² = 144 400 | 390² = 152 100 |
| 400² = 160 000 | 410² = 168 100 | 420² = 176 400 | 430² = 184 900 | 440² = 193 600 |
| 450² = 202 500 | 460² = 211 600 | 470² = 220 900 | 480² = 230 400 | 490² = 240 100 |
| 500² = 250 000 | 510² = 260 100 | 520² = 270 400 | 530² = 280 900 | 540² = 291 600 |
| 550² = 302 500 | 560² = 313 600 | 570² = 324 900 | 580² = 336 400 | 590² = 348 100 |
| 600² = 360 000 | 610² = 372 100 | 620² = 384 400 | 630² = 396 900 | 640² = 409 600 |
| 650² = 422 500 | 660² = 435 600 | 670² = 448 900 | 680² = 462 400 | 690² = 476 100 |
| 700² = 490 000 | 710² = 504 100 | 720² = 518 400 | 730² = 532 900 | 740² = 547 600 |
| 750² = 562 500 | 760² = 577 600 | 770² = 592 900 | 780² = 608 400 | 790² = 624 100 |
| 800² = 640 000 | 810² = 656 100 | 820² = 672 400 | 830² = 688 900 | 840² = 705 600 |
| 850² = 722 500 | 860² = 739 600 | 870² = 756 900 | 880² = 774 400 | 890² = 792 100 |
| 900² = 810 000 | 910² = 828 100 | 920² = 846 400 | 930² = 864 900 | 940² = 883 600 |
| 950² = 902 500 | 960² = 921 600 | 970² = 940 900 | 980² = 960 400 | 990² = 980 100 |
| 1000² = 1 000 000 |
Как запомнить таблицу квадратов
Наизусть обычно знают квадраты до 10 — это диагональ таблицы умножения. Второй десяток и числа на 5 берутся двумя правилами, остальное считают от них.
Квадраты от 11 до 19: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361. Правило: к числу прибавить его единицы, приписать ноль и добавить квадрат единиц. 17²: 17 + 7 = 24, 240 + 49 = 289.
Числа, оканчивающиеся на 5: 15² = 225, 25² = 625, 35² = 1225, 45² = 2025, 55² = 3025, 65² = 4225, 75² = 5625, 85² = 7225, 95² = 9025. Правило: десятки умножить на следующее число и приписать 25. 75²: 7 × 8 = 56, значит 5625. 85²: 8 × 9 = 72 — 7225.
Соседние квадраты отличаются на нечётное число 2n − 1: 11² − 10² = 21, 12² − 11² = 23, 13² − 12² = 25, 14² − 13² = 27, 15² − 14² = 29. Зная 20² = 400, легко получить 21² = 400 + 41 = 441 и 19² = 400 − 39 = 361. Отсюда же старое наблюдение: сумма первых n нечётных чисел — всегда точный квадрат (1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²).
Формулы: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов
| Формула | Пример |
|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | 31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961 |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | 29² = (30 − 1)² = 900 − 60 + 1 = 841 |
| a² − b² = (a − b)(a + b) | 51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499 |
| (a + b)² − (a − b)² = 4ab | (7 + 3)² − (7 − 3)² = 100 − 16 = 84 = 4 × 21 |
Эти три формулы — вся «алгебра» таблицы квадратов. Разность квадратов — ещё и способ быстро перемножать числа, симметричные относительно круглого: 98 × 102 = 100² − 2² = 9996; 43 × 37 = 40² − 3² = 1591.
Где нужны квадраты
Площадь квадрата со стороной a равна a² — отсюда и название: участок 25 × 25 м — это 625 м², то есть 6,25 сотки. Теорема Пифагора складывает квадраты катетов: у треугольника с катетами 5 и 12 гипотенуза √(25 + 144) = √169 = 13. В физике квадрат входит в формулу пути при равноускоренном движении (s = at²/2) и кинетической энергии (mv²/2): при удвоении скорости энергия удара растёт вчетверо, а тормозной путь — тоже вчетверо. Со времён Брадиса таблица квадратов — первая таблица в сборниках четырёхзначных математических таблиц, ею же пользуются для извлечения корня «наоборот».
Частые вопросы
Как найти квадрат двузначного числа по таблице квадратов?
В строке берут десятки числа, в столбце — единицы, на пересечении стоит квадрат: для 47² — строка 4, столбец 7, ответ 2209. Если таблицы нет под рукой, считают по формуле (a + b)²: 47² = (50 − 3)² = 2500 − 300 + 9 = 2209.
Как по таблице квадратов извлечь квадратный корень?
Нужно найти число внутри таблицы и прочитать его строку и столбец: 1849 стоит в строке 4, столбце 3, значит √1849 = 43. Если числа в таблице нет, корень не целый — он лежит между соседними значениями (√2000 — между 44 и 45, потому что 1936 < 2000 < 2025).
На какие цифры может оканчиваться квадрат числа?
Только на 0, 1, 4, 5, 6, 9. Число, оканчивающееся на 2, 3, 7 или 8, точным квадратом быть не может — это быстрая проверка в задачах на извлечение корня. Квадрат чётного числа чётен, нечётного — нечётен.
См. также
• Таблица корней — квадратные корни от 1 до 100, кубические, корень из 2, 3, 5
• Таблица кубов — кубы чисел от 1 до 100, формулы суммы и разности кубов
• Таблица степеней — степени двойки до 2⁶⁴, степени 3, 5, 10 и чисел от 2 до 10
• Таблица умножения — от 1 до 10 и до 20, таблица деления, тренажёр
• Таблица простых чисел — все простые до 1000, проверка числа на простоту
• Число π — 1000 знаков после запятой, история вычислений, как запомнить
• Сумма прописью — число → рубли и копейки словами, правила для документов
• Таблицы Брадиса — синусы, косинусы, тангенсы с точностью 4 знака и калькулятор
Источники
- Брадис В. М. «Четырёхзначные математические таблицы» — таблица I «Точные квадраты».
- Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике» — формулы сокращённого умножения.
- Все значения на странице вычислены точно (целочисленно), а не скопированы.
Страница обновлена: 21 октября 2026